Question

14．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿(mǎn)足b₁=a_n，b_k-1b_k=a_k-1a_k≠0，其中k=2，3，…，n，則稱(chēng){b_n}為{a_n}的“生成數(shù)列”．
（1）若數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅的“生成數(shù)列”是1，2，3，4，5，求a₁；
（2）若n為偶數(shù)，且{a_n}的“生成數(shù)列”是{b_n}，證明：{b_n}的“生成數(shù)列”是{a_n}；
（3）若n為奇數(shù)，且{a_n}的“生成數(shù)列”是{b_n}，{b_n}的“生成數(shù)列”是{c_n}，…，依次將數(shù)列{a_n}，{b_n}，{c_n}，…的第i（i=1，2，…，n）項(xiàng)取出，構(gòu)成數(shù)列Ω_i：a_i，b_i，c_i，…，．
探究：數(shù)列Ω_i是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)b₁=a₅=1、a₄a₅=4×5可知a₄=20，同理計(jì)算即可；
（2）通過(guò)將b_k-1b_k=a_k-1a_k（k=2，3，…，n+1）共n-1（n為偶數(shù)）個(gè)等式中第1，3，5，…，n-1行這$\frac{n}{2}$個(gè)式子兩邊取倒數(shù)、結(jié)合b₁=a_n再將這n個(gè)式子相乘、整理得b_n=a₁，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（3）通過(guò)原數(shù)列與生成數(shù)列之間的關(guān)系，只需證明Ω₁成等比數(shù)列即可．通過(guò)將b_k-1b_k=a_k-1a_k（k=2，3，…，n+1）共n-1（n為奇數(shù)）個(gè)等式中第1，3，5，…，n-2行這$\frac{n-1}{2}$個(gè)式子兩邊取倒數(shù)、結(jié)合b₁=a_n再將這n個(gè)式子相乘、整理得$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$，進(jìn)而c₁=$\frac{{_{1}}^{2}}{{a}_{1}}$，即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵b₁=a₅=1，a₄a₅=4×5，
∴a₄=20，
同理，${a_3}=\frac{3}{5}，{a_2}=10，{a_1}=\frac{1}{5}$；
（2）證明：由“生成數(shù)列”的定義可知：
b₁b₂=a₁a₂，
b₂b₃=a₂a₃，
…
b_n-1b_n=a_n-1a_n，
將上述n（n為偶數(shù)）個(gè)等式中第1，3，5，…，n-1行這$\frac{n}{2}$個(gè)式子兩邊取倒數(shù)，
結(jié)合b₁=a_n，再將這n個(gè)式子相乘得：
${b_1}•\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}•{b_2}{b_3}•\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}•{b_4}{b_5}…\frac{1}{{{b_{n-1}}{b_n}}}={a_n}•\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}•{a_2}{a_3}•\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}•{a_4}{a_5}…\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}$，
整理得b_n=a₁，
∵a₁=b_n，a_k-1a_k=b_k-1b_k（k=2，3，…，n），
∴根據(jù)“生成數(shù)列”的定義可得：數(shù)列{a_n}是數(shù)列{b_n}的“生成數(shù)列”；
（3）結(jié)論：數(shù)列Ω_i是等比數(shù)列．
理由如下：
∵${b_i}=\frac{{{a_{i-1}}{a_i}}}{{{b_{i-1}}}}（i=2，3，…，n）$，
∴$\frac{b_i}{a_i}=\frac{1}{{\frac{{{a_{i-1}}}}{{{b_{i-1}}}}}}（i=2，3，…，n）$．
∴欲證Ω_i成等比數(shù)列，只需證明Ω₁成等比數(shù)列即可．
對(duì)于數(shù)列{a_n}及其“生成數(shù)列”{b_n}，有：
b₁b₂=a₁a₂，
b₂b₃=a₂a₃，
…
b_n-1b_n=a_n-1a_n，
將上述n（n為奇數(shù)）個(gè)等式中第1，3，5，…，n-2行這$\frac{n-1}{2}$個(gè)式子兩邊取倒數(shù)，
結(jié)合b₁=a_n，再將這n個(gè)式子相乘得：
${b_1}•\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}•{b_2}{b_3}•\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}•{b_4}{b_5}…\frac{1}{{{b_{n-2}}{b_{n-1}}}}•{b_{n-1}}{b_n}={a_n}•\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}•{a_2}{a_3}•\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}•{a_4}{a_5}…\frac{1}{{{a_{n-2}}{a_{n-1}}}}•{a_{n-1}}{a_n}$，
∴b_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{1}}$，∴$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$，
∵數(shù)列{b_n}的“生成數(shù)列”為{c_n}，
∴c₁=b_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{{_{1}}^{2}}{{a}_{1}}$，
∴a₁，b₁，c₁成等比數(shù)列，
∴數(shù)列Ω_i是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免錯(cuò)誤，注意解題方法的積累，屬于中檔題．