Question

15．若定義域為R的奇函數(shù)f（x）=$\frac{x+n}{{{x^2}+m}}$在區(qū)間$（1，\frac{3}{2}]$上沒有最小值，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （0，2]
• B． $[\frac{3}{2}，2]$
• C． $[\frac{3}{2}，+∞）$
• D． $（\frac{3}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由奇函數(shù)的性質(zhì)：f（0）=0，可得n=0，再由g（x）=x+$\frac{m}{x}$在區(qū)間$（1，\frac{3}{2}]$上沒有最大值．由g（x）在x=$\sqrt{m}$處取得極小值，討論區(qū)間$（1，\frac{3}{2}]$與極值點的關(guān)系，即可得到m的范圍．

解答 解：定義域為R的奇函數(shù)f（x），即有f（0）=0，
則n=0，又m＞0，
由f（x）=$\frac{1}{x+\frac{m}{x}}$在區(qū)間$（1，\frac{3}{2}]$上沒有最小值，
即為g（x）=x+$\frac{m}{x}$在區(qū)間$（1，\frac{3}{2}]$上沒有最大值．
由g（x）在x=$\sqrt{m}$處取得極小值，
當(dāng)$\sqrt{m}$≥$\frac{3}{2}$，即m≥$\frac{9}{4}$時，區(qū)間$（1，\frac{3}{2}]$為g（x）的減區(qū)間，成立；
當(dāng)1≤$\sqrt{m}$＜$\frac{3}{2}$，且g（1）＞g（$\frac{3}{2}$），即有1≤m＜$\frac{9}{4}$，且m＞$\frac{3}{2}$，
綜上可得，m的范圍是m＞$\frac{3}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要是奇函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．