Question

5．設函數(shù)f（x）=x²-2x+3（x∈[t，t+1]）的最小值為g（t），求g（t）的表達式．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的對稱軸x=1，從而可討論區(qū)間[t，t+1]和對稱軸的關系：分t+1≤1，t＜1＜t+1，和t≥1三種情況，然后根據(jù)二次函數(shù)在[t，t+1]上的單調(diào)性及取得頂點情況便可求出每種情況的f（x）的最小值，從而得出g（t）的表達式．

解答 解：f（x）的對稱軸為x=1；
①t+1≤1，即t≤0時，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減；
∴f（t+1）=t²+2是f（x）的最小值；
②t＜1＜t+1，即0＜t＜1時，f（1）=2是f（x）的最小值；
③t≥1時，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增；
∴f（t）=t²-2t+3是f（x）的最小值；
∴綜上得，$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+2}&{t≤0}\\{2}&{0＜t＜1}\\{{t}^{2}-2t+3}&{t≥1}\end{array}\right.$．

點評 考查二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)單調(diào)性的定義求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，以及根據(jù)拋物線頂點求二次函數(shù)最小值的方法．