Question

15．已知點(diǎn)F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，圓C以點(diǎn)F為圓心，且經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0）．
（1）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)P（-1，0）作圓C的兩條切線，與拋物線y²=4x分別交于點(diǎn)A，B和C，D，求經(jīng)過A，B，C，D四點(diǎn)的圓C'的面積．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，設(shè)出圓C的方程為（x-1）²+y²=r²，利用圓C經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），求出圓的半徑，即可求解圓C的方程．
（2）利用圓C與拋物線y²=4x都關(guān)于x軸對(duì)稱，推出圓C'的圓心在x軸上．設(shè)過點(diǎn)P（-1，0）與圓C相切，且斜率為正的一條切線AB的方程為y=k（x+1）（k＞0），通過圓心到直線的距離等于半徑求出k，得到AB方程，然后代入y²=4x，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理以及弦長公式求解|AB|，線段AB的中垂線方程，求出圓C'的圓心C'．然后求解圓的半徑，即可求解圓C'的面積．

解答 解：（1）由題知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），則設(shè)圓C的方程為（x-1）²+y²=r²，又圓C經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），則1=r²，故圓C的方程為（x-1）²+y²=1．（5分）
（2）根據(jù)題意可知，圓C與拋物線y²=4x都關(guān)于x軸對(duì)稱，且P（-1，0）在x軸上，則A，B與C，D分別關(guān)于x軸對(duì)稱，且圓C'的圓心在x軸上．設(shè)過點(diǎn)P（-1，0）與圓C相切，且斜率為正的一條切線AB的方程為y=k（x+1）（k＞0），即kx-y+k=0，則有$\frac{\left|2k\right|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，則k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即AB方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），
代入y²=4x整理得x²-10x+1=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=10，x₁x₂=1，|AB|=$\sqrt{（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}+（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}（{x}_{2}+{x}_{1}）^{2}-\frac{16}{3}{x}_{1}{x}_{2}}$=8$\sqrt{2}$．
又y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₁+x₂）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$，即AB的中點(diǎn)為（5，2$\sqrt{3}$），則線段AB的中垂線方程為y-2$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$（x-5），令y=0得x=7，即圓C'的圓心C'（7，0）．
則圓心C'（7，0）到直線AB的距離d=$\frac{|7×\frac{\sqrt{3}}{3}-0+\frac{\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+1}}$=4，故圓C'的半徑R²=（4$\sqrt{2}$）²+4²=48，故圓C'的面積為48π．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離以及對(duì)稱知識(shí)，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．