Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：PD∥平面ACE；
（2）求證：PA⊥CE；
（3）在線段PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF⊥平面PAC？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用三角形的中位線得到線線平行，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成線面平行．
（2）首先利用面面垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成線線垂直．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)F，進(jìn)一步利用相關(guān)的條件得到線線垂直，再轉(zhuǎn)化成線面垂直，從而說明點(diǎn)的存在．

解答 解：（1）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，
連接AC，BD交于點(diǎn)O，
∴O為BD的中點(diǎn)，
又∵E為PB的中點(diǎn)．
∴OE∥PD，
∵OE?平面ACE，
PD?平面ACE
∴PD∥平面ACE；
∵平面PAB⊥平面ABCD，
BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
PA⊥PB，
∴PA⊥平面PBC，
CE?平面PBC，
∴PA⊥CE．
（3）取PC的中點(diǎn)F，
連接BF，由于BP=BC，
∴PBC為等腰三角形．
∴BF⊥PC．
由（2）得：PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BF，
∴BF⊥平面PAC．
在線段PC上存在一點(diǎn)F，使得BF⊥平面PAC

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．存在性問題的應(yīng)用．