設橢圓C:=1(a＞b＞0)過點(1,),F1、F2分別為橢圓C的左、右兩個焦點，且離心率e=.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F2與橢圓C交于M、N兩點,若AM、AN的斜率k1,k2滿足k1+k2=,求直線l的方程；

(3)已知P是橢圓C上位于第一象限內的點，△PF1F2的重心為G，內心為I，求證：IG∥F1F2.

解:(1)由題意橢圓的離心率e=,∴=.∴a=2c.∴b2=a2-c2=3c2.

∴橢圓方程為+=1.

又點(1，)在橢圓上，∴+=1.∴c2=1.∴橢圓的方程為+=1.

(2)若直線l斜率不存在，顯然k1+k2=0不合題意；則直線l的斜率存在.

設直線l為y=k(x-1)，直線l和橢圓交于M(x1,y1)，N(x2,y2).

將y=k(x-1)代入3x2+4y2=12中,得到(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

依題意,Δ=9k2-9＞0得k＞1或k＜-1.由韋達定理可知

又kAM+kAN=+=k(+)=k［2-3(+)］,

而+===,

從而kAM+kAN=k(2-3·)==.

求得k=2,符合k＞1.故所求直線MN的方程為y=2(x-1).

(3)證明:設P點坐標為(x0,y0)(y0＞0),而G為△PF1F2的重心,為G(,).

設△PF1F2的內切圓半徑為r，則

=|F1F2|·|y0|=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r,

于是·2c·|y0|=(2a+2c)·r.

又a=2,c=1,y0＞0，則r=y0,從而I點縱坐標,從而IG∥F1F2.

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