設(shè)橢圓C:=1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1,),F1、F2分別為橢圓C的左、右兩個焦點(diǎn),且離心率e=.

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知A為橢圓C的左頂點(diǎn),直線l過右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M、N兩點(diǎn).若AM,AN的斜率k1,k2滿足k1+k2=,求直線l的方程;

(3)已知P是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn),△PF1F2的重心為G,內(nèi)心為I,求證:GI∥F1F2.

解:(1) 得∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(2)由(1)得F2(1,0),A(-2,0).

若直線l與x軸垂直,則k1+k2=0,不合題意;

設(shè)直線l為y=k(x-1)(k≠0),設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為M(x1,y1),N(x2,y2).

由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

Δ=9k2-9＞0,得k＞1或k＜-1,

x1+x2=,x1·x2=,

y1+y2=k(x1+x2-2)=k(-2)=,

∵k1=,k2=,

∴k1+k2=+=

=,

∴x1y2+x2y1=.

∵x1y2+x2y1=x1［k(x2-1)］+x2［k(x1-1)］=,

∴,k=2,符合k＞1.

故所求直線MN的方程為y=2(x-1).

(3)證明:設(shè)PI交F1F2于Q,則,,

∴.∴=2.∴,IG∥F1F2.

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設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)過點(diǎn)(0,4),離心率為.

(1)求C的方程;

(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo).

 

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設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是C上的點(diǎn),PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,則C的離心率為(　　)

(A) (B) (C) (D)

 

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（Ⅰ）求橢圓C的方程;

（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.

 

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