Question

11．我國為確保貧困人口到2020年如期脫貧，把2017年列為“精準(zhǔn)扶貧”攻堅(jiān)年，2017年1月1日某貧困縣隨機(jī)抽取100戶貧困家庭的每戶人均收入數(shù)據(jù)做為樣本，以考核該縣2016年的“精準(zhǔn)扶貧”成效（2016年貧困家庭脫貧的標(biāo)準(zhǔn)為人均收入不小于3000元）．根據(jù)所得數(shù)據(jù)將人均收入（單位：千元）分成五個組：[1，2），[2，3），[3，4），[4，5），[5，6]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）如果被抽取的100戶貧困家庭有80%脫貧，則認(rèn)為該縣“精準(zhǔn)扶貧”的成效是理想的．請從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度說明該縣的“精準(zhǔn)扶貧”效果是理想還是不理想？
（3）從戶人均收入小于3千元的貧困家庭中隨機(jī)抽取2戶，求至少有1戶人均收入在區(qū)間[1，2）上的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，能求出a的值．
（2）由頻率分布直方圖求出人均收入超過3000元的頻率，由此能求出結(jié)果．
（3）戶人均收入小于3千元的貧困家庭中有5戶，其中人均收入在區(qū)間[1，2）上有2戶，人均收入在區(qū)間[2，3）上有3戶，至少有1戶人均收入在區(qū)間[1，2）上的對立事件是兩戶人均收入都在區(qū)間[2，3）上，由此能求出至少有1戶人均收入在區(qū)間[1，2）上的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，得：
0.02+0.03+0.45+a+0.2=1，
解得a=0.3．
（2）由頻率分布直方圖得人均收入超過3000元的頻率為：
1-0.02-0.03=0.95=95%＞80%，
∴從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來說該縣的“精準(zhǔn)扶貧”效果理想．
（3）戶人均收入小于3千元的貧困家庭中有（0.02+0.03）×100=5，
其中人均收入在區(qū)間[1，2）上有0.02×100=2戶，人均收入在區(qū)間[2，3）上有0.03×100=3戶，
從戶人均收入小于3千元的貧困家庭中隨機(jī)抽取2戶，
基本事件總數(shù)n=${C}_{5}^{2}$=10，
至少有1戶人均收入在區(qū)間[1，2）上的對立事件是兩戶人均收入都在區(qū)間[2，3）上
∴至少有1戶人均收入在區(qū)間[1，2）上的概率：
p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查古典概型及應(yīng)用，考查概率的計(jì)算，考查計(jì)數(shù)原理，考查排列組合，解答本題的關(guān)鍵是正確理解頻率分布直方圖的性質(zhì)，解題時要要認(rèn)真審題，注意排列組合公式的合理運(yùn)用，是中檔題．