Question

3．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B⊥平面ABCD，且ED=FB=1，M為BC的中點(diǎn)，N為AF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF⊥EC；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-EF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AF⊥EC．
（Ⅱ）求出$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），利用向量法能證明MN⊥平面AEF．
（Ⅲ）求出平面AEF的法向量和平面CEF的法向量，利用向量法能求出二面角A-EF-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，ED⊥平面ABCD，
∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵FB⊥平面ABCD，且ED=FB=1，M為BC的中點(diǎn)，N為AF的中點(diǎn)，
∴A（1，0，0），F(xiàn)（1，1，1），E（0，0，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），$\overrightarrow{EC}$=（0，1，-1），
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EC}$=0+1-1=0，
∴AF⊥EC．
（Ⅱ）M（$\frac{1}{2}$，1，0），N（1，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AE}$=-$\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}$=0，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AF}$=0-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=0，
∴$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{AF}$，∴MN⊥AE，MN⊥AF，
∵AE∩AF=A，∴MN⊥平面AEF．
解：（Ⅲ）$\overrightarrow{CE}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{CF}$=（1，0，1），
設(shè)平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
設(shè)平面CEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=a+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1），
設(shè)二面角A-EF-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
∴二面角A-EF-C的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直、線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．