Question

3．已知集合A={z||z一2|≤2，z∈C}，集合B={W|W=$\frac{1}{2}$zi+b，b∈R，z∈A}，當A∩B=B時，求b的值．

Answer 1

分析 由集合A={z||z一2|≤2，z∈C}，可得：集合A表示以（2，0）為圓心，2為半徑的圓及圓內(nèi)部．B：由w=$\frac{1}{2}$zi+b，可得z=-2i（w-b），利用|z-2|=|-2i|•|w-b-i|=2•|w-（b+i）|≤2，可得|w-（b+i）|≤1，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可得出．

解答 解：由集合A={z||z一2|≤2，z∈C}，可得：集合A表示以（2，0）為圓心，2為半徑的圓及圓內(nèi)部．
B：∵w=$\frac{1}{2}$zi+b，∴z=-2i（w-b），
∴z-2=-2i（w-b）+2i•i=-2i（w-b-i），
∴|z-2|=|-2i|•|w-b-i|=2•|w-（b+i）|≤2，
∴|w-（b+i）|≤1，
∴B表示的點是以（b，1）為圓心，1為半徑的圓及圓內(nèi)部，
A∩B≠∅，有兩個臨界位置（兩圓外切），臨界位置左右兩側(cè)都是A∩B=∅，
兩圓內(nèi)切時，A∩B=B，圓心的距離=半徑的差，即（b-2）²+1²=（2-1）²，∴b=2，

點評 本題考查了復數(shù)的運算性質(zhì)、圓的復數(shù)方程、兩圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．