Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{3x+1，x＜0}\end{array}\right.$則不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（　�。�

• A． （-$\frac{1}{3}$，0）
• B． （-$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，2）
• D． （-$\frac{1}{3}$，log₃2）

Answer 1

分析 令f（x）=t，原不等式即為f（t）＜4t+1，討論t≥0時(shí)，f（t）=3^t＜1+4t，由y=3^x，y=4x+1的圖象可得交點(diǎn)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象，可得0＜t＜2，運(yùn)用分段函數(shù)，解不等式可得x的范圍；討論t＜0無解，即可得到所求解集．

解答 解：令f（x）=t，原不等式即為f（t）＜4t+1，
由t≥0時(shí)，f（t）=3^t＜1+4t，
由y=3^x，y=4x+1的圖象可得交點(diǎn)為（0，1），（2，9），
由3^t＜1+4t，可得0＜t＜2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{0＜{3}^{x}＜2}\end{array}\right.$，解得0≤x＜log₃2；
由$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{0＜1+3x＜2}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{3}$＜x＜0．
可得-$\frac{1}{3}$＜x＜log₃2；
由t＜0時(shí)，f（t）=1+3t＜1+4t，
解得t無解．
綜上可得原不等式的解集為（-$\frac{1}{3}$，log₃2）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：解不等式，考查換元法的運(yùn)用和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和圖象，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．