Question

9．求適合下列條件的橢圓的標準方程．
（1）長軸在x軸上，長軸的長等于12，離心率等于$\frac{2}{3}$；
（2）長軸長是短軸長的2倍，且橢圓過點（-2，-4）．

Answer 1

分析 （1）直接由已知求得a，c的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）分焦點在x軸和y軸兩種情況設出橢圓的方程，代入已知點的坐標求得待定系數，則橢圓方程可求．

解答 解：（1）由已知2a=12，e=$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，得a=6，c=4，從而b²=a²-c²=20，
又長軸在x軸上，故所求橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$；
（2）∵2a=2×2b，∴a=2b，
當焦點在x軸上時，設方程為$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
∵點（-2，-4）在橢圓上，∴$\frac{4}{4^{2}}+\frac{16}{^{2}}=1$，得b²=17，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{68}+\frac{{y}^{2}}{17}=1$；
當焦點在y軸上時，設方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4^{2}}=1$，
∵點（-2，-4）在橢圓上，∴$\frac{4}{^{2}}+\frac{16}{4^{2}}=1$，得b²=8，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{68}+\frac{{y}^{2}}{17}=1$或$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查分類討論的數學思想方法和待定系數法，是基礎題．