Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為（﹣2，0），離心率為 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l過(guò)點(diǎn)S（4，0），與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′，P′與Q兩點(diǎn)的連線交x軸于點(diǎn)T，當(dāng)△PQT的面積最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 ，可得c=1，b= = ．

即有橢圓的方程為 + =1；

（2）解：設(shè)直線l的方程為x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），則P'（x1，﹣y1），

聯(lián)立 得（4+3m2）y2+24my+36=0，

則△=（24m）2﹣144（4+3m2）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4．

又y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

直線PQ的方程為y= （x﹣x1）﹣y1

則xT= =

= = +4=1，

則T（1，0），故|ST|=3

所以S△PQT=S△SQT﹣S△SPT= |y1﹣y2|= = ，

令t= ＞0，

則S△PQT= = ≤ = ，

當(dāng)且僅當(dāng)t2= 即m2= 即m=± 時(shí)取到“=”，

故所求直線l的方程為x=± y+4．

【解析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線l的方程為x=my+4，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），則P'（x1 ， ﹣y1），聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，求得直線PQ的方程，令y=0，可得T的橫坐標(biāo)，化簡(jiǎn)可得T（1，0），由S△PQT=S△SQT﹣S△SPT= |y1﹣y2|，運(yùn)用韋達(dá)定理，由換元法化簡(jiǎn)整理運(yùn)用基本不等式可得最大值，以及此時(shí)直線的方程．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．