Question

15．斜率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的直線與焦點在x軸上的橢圓x²+$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）交于不同的兩點P、Q．若點P、Q在x軸上的投影恰好為橢圓的兩焦點，則該橢圓的焦距為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 畫出圖形，結(jié)合圖形，得出直線與橢圓兩交點坐標(biāo)，根據(jù)兩點間的斜率公式，求出焦距；

解答 解：由題意知：直線與橢圓兩交點的橫坐標(biāo)為-c，c，縱坐標(biāo)分別為-$\frac{^{2}}{a}$，$\frac{^{2}}{a}$，
∴由直線的斜率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得$\frac{\frac{^{2}}{a}-（-\frac{^{2}}{a}）}{c-（-c）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$轉(zhuǎn)化為：2b²=$\sqrt{2}$ac，
2（a²-c²）=$\sqrt{2}$ac，a=1，
即2c²+$\sqrt{2}c$-2=0，
解得c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，（負(fù)根舍去）
∴橢圓的焦距為：$\sqrt{2}$；
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)及直線的斜率公式和離心率公式的應(yīng)用問題，也考查了點到直線的距離公式的應(yīng)用問題，是中檔題．