Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₃=5，S₃=64，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}≤2-\frac{1}{n}$（n≥1，n∈N）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用等差數(shù)列建立方程組求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用通項(xiàng)公式求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，進(jìn)一步利用放縮法和裂項(xiàng)相消法求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，已知：a₃=5，S₃=64，
則：$\left\{\begin{array}{l}{a}_{3}={a}_{1}+2d=5\\{S}_{8}=8{a}_{1}+\frac{7×8}{2}d=64\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，
所以：a_n=2n-1
證明：（Ⅱ）利用a_n=2n-1，
所以：${S}_{n}=\frac{n（1+2n-1）}{2}={n}^{2}$，
$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$（n≥2）
所以：$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+$…+$\frac{1}{{n}^{2}}$$＜1+（1-\frac{1}{2}）$+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$，
當(dāng)n=1時，$\frac{1}{{S}_{1}}=1=2-\frac{1}{1}=1$
所以：$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}≤2-\frac{1}{n}$（n≥1，n∈N）．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：利用等差數(shù)列的關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用放縮法和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，主要考察學(xué)生的應(yīng)用能力．