Question

13．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，（x≥0）}\\{{x}^{2}+mx-1，（x＜0）}\end{array}\right.$是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）作出函數(shù)y=f（x）的圖象，并寫出其單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)y=f（x）-k有4個(gè)零點(diǎn)，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)的奇偶性可得f（-1）=f（1），由此求得m的值．
（2）作出函數(shù)y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x-1，x＜0}\end{array}\right.$ 的圖象，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k有4個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合f（x）的圖象，求得k的范圍．

解答 解：（1）根據(jù) 函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，（x≥0）}\\{{x}^{2}+mx-1，（x＜0）}\end{array}\right.$是偶函數(shù)，
可得f（-1）=f（1），1-m-1=1-2-1，求得m=2．
（2）作出函數(shù)y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x-1，x＜0}\end{array}\right.$ 的圖象，如圖所示：
數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的增區(qū)間為[-1，0）、[1，+∞）；
減區(qū)間為（-∞，-1）、[0，1）．
（3）若函數(shù)y=f（x）-k有4個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k有4個(gè)交點(diǎn)，
故-2＜k＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．