Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1=4-$\frac{4}{{a}_{n}}$（n∈N^*），令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=（a_2n-1-2）（a_2n+1-2），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=4-$\frac{4}{{a}_{n}}$（n∈N^*），化簡求得a_n+1-2=2×$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}}$，即b_n-b_n-1=$\frac{1}{2}$，b₁=$\frac{1}{2}$，故可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項公式，利用裂項法求得數(shù)列{c_n}前n項和T_n．

解答 （1）證明：a_n+1=4-$\frac{4}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
a_n+1-2=2-$\frac{4}{{a}_{n}}$=2×$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}}$，（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{a}_{n}-2}$，
∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$，
∴b_n-b_n-1=$\frac{1}{2}$，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-2}$=$\frac{1}{2}$
∴數(shù)列{b_n}是以$\frac{1}{2}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）$_{n}=\frac{n}{2}$，$\frac{1}{{a}_{n}-2}=\frac{n}{2}$，
${a}_{n}=\frac{2}{n}+2$，
c_n=（a_2n-1-2）（a_2n+1-2）=$\frac{2}{2n-1}$•$\frac{2}{2n+1}$=2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n，
∴T_n=2[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=2（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{4n}{2n+1}$．
數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，T_n=$\frac{4n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用和判斷，正確變形、利用等差數(shù)列的通項公式和裂項求和即可得出，屬于中檔題．