Question

2．設橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為28$\sqrt{3}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 利用待定系數(shù)法結合離心率和四邊形的面積進行求解即可得到結論．

解答 解：由題意設橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
∵橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，∴e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即a=2c，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c
∵以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為28$\sqrt{3}$，
∴2×$\frac{1}{2}$×a•2b=2ab=28$\sqrt{3}$，
∴ab=14$\sqrt{3}$，
即c•$\sqrt{3}$c=7$\sqrt{3}$，
即c²=7，則a²=4c²=4×7=28，b²=3c²=3×7=21．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{28}$+$\frac{{y}^{2}}{21}$=1．

點評 本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，根據(jù)橢圓的方程結合四邊形的面積公式是解決本題的關鍵．