Question

11．甲乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為$p（{p＞\frac{1}{2}}）$，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為$\frac{5}{9}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）設(shè)X表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （1）列出當甲連勝2局或者乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率求出p．（2）得出隨機變量的所有可能取值，得出各自的概率從而得出分布列

解答 解：（1）依題意，當甲連勝2局或者乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽停止．∴${p}^{2}+（1-p）^{2}=\frac{5}{9}$．解得p=$\frac{2}{3}\\;\\;\\;或\\;p=\frac{1}{3}∵\\;p＞\frac{1}{2}∴\\;p=\frac{2}{3}$．
（2）依題意知：X的所有可能值為2，4，6
設(shè)每兩局比賽為1輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為$\frac{5}{9}$
若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲乙在該輪中必是各得一分
此時該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響
從而有P（X=2）=$\frac{5}{9}$．
P（X=4）=（1-$\frac{5}{9}$）$\frac{5}{9}$=$\frac{20}{81}$
P（X=6）=1-$\frac{5}{9}$-$\frac{20}{81}$=$\frac{16}{81}$
∴隨機變量X的分布列為：則隨機變量ξ的分布列為：2

X	2	4	6
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{20}{81}$	$\frac{16}{81}$

則EX=$2×\frac{5}{9}+4×\frac{20}{81}+6×\frac{16}{81}=\frac{266}{81}$

點評 主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解方法，屬于中檔題型，在高考中經(jīng)常反復(fù)考查．