Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為 $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過點(diǎn)F₁的直線l交橢圓C于E，G兩點(diǎn)，且△EGF₂的周長為4$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的方程；     
（Ⅱ）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)$|{\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}}|＜\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$時，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率找出a與b的關(guān)系式，再根據(jù)△EGF₂的周長求出a與b的值，即可確定出橢圓C方程；
（Ⅱ）根據(jù)題意得到直線AB斜率存在，設(shè)出直線AB方程，以及A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），聯(lián)立直線AB解析式與橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，根據(jù)不等式求出k的范圍，進(jìn)而確定出t的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意知橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2b²，
又△EGF₂的周長為4$\sqrt{2}$，即4a=4$\sqrt{2}$，
∴a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在，即t≠0．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，得k²＜$\frac{1}{2}$．
根據(jù)韋達(dá)定理得：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow{OP}$，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{t}$=$\frac{8{k}^{2}}{t（1+2{k}^{2}）}$，
y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{1}{t}$[k（x₁+x₂）-4k]=$\frac{-4k}{t（1+2{k}^{2}）}$，
∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴16k²=t²（1+2k²），
∵|$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$|＜$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，∴$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|＜$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]＜$\frac{20}{9}$，
∴（1+k²）[$\frac{64{k}^{4}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$-4•$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$]＜$\frac{20}{9}$，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，
∴k²＞$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$＜k²＜$\frac{1}{2}$．
∵16k²=t²（1+2k²），∴t²=$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=8-$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$，
又$\frac{3}{2}$＜1+2k²＜2，∴$\frac{8}{3}$＜t²=8-$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$＜4，
∴-2＜t＜-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或$\frac{2\sqrt{6}}{3}$＜t＜2，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-2，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）∪（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，2）．

點(diǎn)評 此題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，橢圓的簡單性質(zhì)，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)是解本題第一問的關(guān)鍵．