Question

如圖，橢圓=1（a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)在直線l：x=1上，離心率e=．設(shè)P，Q為橢圓上不同的兩點(diǎn)，且弦PQ的中點(diǎn)T在直線l上，點(diǎn)R（，0）．
（1）求橢圓的方程；
（2）試證：對于所有滿足條件的P，Q，恒有|RP|=|RQ|；
（3）試判斷△PQR能否為等邊三角形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)、離心率計(jì)算公式及a²=b²+c²即可得出；
（2）證明：設(shè)T（1，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．則=，，只要證明==0即可，利用“點(diǎn)差法”中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可證明；
（3）分類討論，利用等邊三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離關(guān)系及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得到滿足條件的直線斜率k存在即可．
解答：（1）解：由題意可得，解得，∴橢圓的方程為；
（2）證明：設(shè)T（1，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
則=，，
∴=，
由點(diǎn)P，Q在橢圓上，∴，，
兩式相減得=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2y，
∴．
∴．
∴PQ⊥RT．
即RT是線段PQ的垂直平分線，故恒有|RT|=|RQ|．
（3）①當(dāng)PQ的斜率不存在時，△PQR不是等邊三角形；
②當(dāng)PQ的斜率存在時，由（2）可知：k=0時不符合題意．
假設(shè)k≠0，△PQR為等邊三角形，則，
設(shè)PQ的中點(diǎn)T（1，y），此時，．
∴=，
∴，
代入化為==3（1+k²），
解得．
由△＞0，得64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0，
把代入上式得，∴符合題意．
∴△PQR能為等邊三角形．
點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、垂直與數(shù)量積的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式、斜率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識與基本能力，考查了推理能力和計(jì)算能力．