Question

10．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{9}{x+1}$（0≤x≤3），則f（x）的值域為（　　）

• A． [5，9]
• B． [5，$\frac{21}{4}$]
• C． [$\frac{21}{4}$，9]
• D． [6，10]

Answer 1

分析 原函數(shù)變形得到$f（x）=（x+1）+\frac{9}{x+1}-1$，由基本不等式便可得出x=2時，f（x）≥5，這樣便可判斷f（x）在[0，3]上的單調(diào)性，從而得出f（x）在[0，3]上的最小、最大值，從而得出f（x）的值域．

解答 解：$f（x）=（x+1）+\frac{9}{x+1}-1≥5$，當且僅當$x+1=\frac{9}{x+1}$，即x=2時取“=”；
∴f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增；
又f（0）=9，f（3）=$\frac{21}{4}$；
∴f（x）在[0，3]上的最小值為5，最大值為9；
∴f（x）的值域為[5，9]．
故選A．

點評 考查基本不等式在求函數(shù)最小值中的運用，應(yīng)用基本不等式注意判斷等號能否取到，函數(shù)值域的概念，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法，要熟悉函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}$的單調(diào)性．