Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$
（1）利用定義法求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$的導(dǎo)函數(shù)
（2）求曲線f（x）=$\frac{1}{x}$過（2，0）的切線方程
（3）求（2）的切線與曲線$f（x）=\frac{1}{x}$及直線x=2所圍成的曲邊圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用定義法直接求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可．
（2）設(shè)出切點坐標(biāo)，求出曲線的斜率，然后求解切線方程．
（3）利用定積分求解曲邊梯形的面積即可．

解答 解：（1）$△y=\frac{1}{x+△x}-\frac{1}{x}=\frac{-△x}{x（x+△x）}$（1分）
$\frac{△y}{△x}=\frac{-△x}{x（x+△x）△x}=\frac{-1}{x（x+△x）}$（2分）
$f'（x）=\lim_{△x→∞}\frac{△y}{△x}=\lim_{△x→∞}\frac{-1}{x（x+△x）}=-\frac{1}{x^2}$（3分）
（2）設(shè)切點P（x₀，y₀），因為$y'=-\frac{1}{x^2}$（4分）
∴$k=-\frac{1}{{{x_0}^2}}$，切線方程$y=-\frac{1}{{{x_0}^2}}（x-2）⇒y=-\frac{1}{{{x_0}^2}}x+\frac{2}{{{x_0}^2}}$
則$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=-\frac{1}{{{x_0}^2}}{x_0}+\frac{2}{{{x_0}^2}}\\{y_0}=\frac{1}{x_0}\end{array}\right.$（5分）
$⇒\frac{2}{x_0}=\frac{2}{{{x_0}^2}}⇒{x_0}=1$
所以切線方程y=-x+2（6分）
（3）$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，解得x=1，交點坐標(biāo)（1，1）
$S=\int_1^2{（\frac{1}{x}+x-2）dx}$（7分）
=${∫}_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$+${∫}_{1}^{2}xdx$$-2{∫}_{1}^{2}dx$
=$lnx{|}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{x}^{2}{|}_{1}^{2}$-2x${|}_{1}^{2}$
=ln2-ln1+$\frac{1}{2}（4-1）$-2（2-1）
=ln2-$\frac{1}{2}$（10分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，定積分的應(yīng)用，考查計算能力．