Question

8．若存在滿足$\frac{1}{x}+\frac{m}{y}$=1（m＞0，且m為常量）的變量x，y（x＞0，y＞0）使得表達(dá)式x+y-$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值，則m的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，2）
• B． （$\frac{1}{3}$，3）
• C． [1，3]
• D． [$\frac{1}{4}$，1]

Answer 1

分析 設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ可得r=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{m}{sinθ}$，換元可得f（θ）的表達(dá)式，由f′（θ）=0，可得m=$\frac{cosθ-（-1）}{sinθ-（-1）}$，由斜率的幾何意義可得．

解答 解：由題意設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，（r＞0，0＜θ＜$\frac{π}{2}$）
∵$\frac{1}{x}+\frac{m}{y}$=1，∴r=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{m}{sinθ}$，
∴f（θ）=x+y-$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=r（sinθ+cosθ-1）
=（$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{m}{sinθ}$）（sinθ+cosθ-1）=1+m+$\frac{sinθ-1}{cosθ}$+$\frac{m（cosθ-1）}{sinθ}$，
求導(dǎo)數(shù)可得f′（θ）=$\frac{co{s}^{2}θ+cosθ（sinθ-1）}{co{s}^{2}θ}$+$\frac{-msi{n}^{2}θ-m（cosθ-1）cosθ}{si{n}^{2}θ}$，
令f′（θ）=0，可得m=$\frac{cosθ-（-1）}{sinθ-（-1）}$，
m表示動點(diǎn)Q（cosθ，sinθ）到定點(diǎn)P（-1，-1）的斜率，
又可得動點(diǎn)Q的軌跡為的單位圓在第一象限的部分，
由圖可知：斜率的最大值為k_PB=2，最小值為k_PA=$\frac{1}{2}$，
∴m的范圍為（$\frac{1}{2}$，2）．
故選：A

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值，涉及三角換元和數(shù)形結(jié)合的思想，涉及斜率公式和導(dǎo)數(shù)，屬難題．