Question

18．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解關(guān)于x的不等式 f（x）＞2
（2）若不等式$f（x）≥ax+\frac{a}{2}-\frac{7}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值，再解不等式即可；
（2）利用函數(shù)的圖象，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）x≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式化為-x-5＞2，可得x＜-7；
-$\frac{1}{2}$＜x＜4時(shí)，不等式化為3x-3＞2，可得$\frac{5}{3}$＜x＜4；
x≥4時(shí)，不等式化為x+5＞2，可得x≥4；
∴不等式解集為$（{-∞，-7}）∪（{\frac{5}{3}，+∞}）$…（5分）
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x+5}&{x≥4}&{\;}\\{3x-3}&{-\frac{1}{2}＜x＜4}&{\;}\\{-x-5}&{x≤-\frac{1}{2}}&{\;}\end{array}$
y=ax+$\frac{a}{2}$-$\frac{7}{2}$恒過(guò)（-0.5，-3.5）
所以由函數(shù)的圖象可得-1≤a≤1

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．