Question

8．我市一農(nóng)民在自留地建造一個長10m，深0.5m，橫截面為等腰梯形的封閉式引水槽．若儲水窖頂蓋每平方米的造價為10元，側(cè)面每平方米的造價為40元，底部每平方米的造價為50元．
（1）把建立引水槽的費用y（元）表示為引水槽的側(cè)面與地面所成的角∠DAE=θ的函數(shù)；
（2）引水槽的側(cè)面與地面所成的角θ多大時，其材料費最低？最低材料費是多少？（精確到0.01，$\sqrt{3}$≈1.732）
（3）按照題條件，在引水槽的深度和橫截面積及所在的材料不改變的情況下，將引水槽的橫截面形狀改變?yōu)檎�方形的材料費與（2）中所求得的材料費相比較，哪一種設計所用材料費更�。渴《嗌�？

Answer 1

分析 （1）通過作AH⊥CD（垂足為H），依題意可知AH=0.5、∠ADH=θ，通過橫截面是面積為0.25的等腰梯形可知AB=$\frac{1-cotθ}{2}$、CD=$\frac{1+cotθ}{2}$，進而AD=0.5•$\frac{1}{sinθ}$，利用y=2•10•AD•40+CD•10•10+AB•10•50化簡可知y=300+200•$\frac{2-cosθ}{sinθ}$；
（2）通過記μ=$\frac{2-cosθ}{sinθ}$即μsinθ+cosθ=2，利用輔助角公式及三角函數(shù)有界性可知μ≥$\sqrt{3}$，進而計算可得結論；
（3）當截面為正方形時材料費700元，比較即得結論．

解答 解：（1）作AH⊥CD，垂足為H，則AH=0.5，∠ADH=θ，
∵橫截面是面積為0.25的等腰梯形，
∴0.25=$\frac{1}{2}$（AB+CD）AH，
∴0.25=$\frac{1}{2}$[AB+（AB+2•0.5cotθ）]•0.5，
∴AB=$\frac{1-cotθ}{2}$，∴CD=$\frac{1+cotθ}{2}$，
又∵AD=$\frac{AH}{sinθ}$=0.5•$\frac{1}{sinθ}$，
∴y=2•10•AD•40+CD•10•10+AB•10•50
=2•10•0.5$\frac{1}{sinθ}$•40+$\frac{1+cotθ}{2}$•10•10+$\frac{1-cotθ}{2}$•10•50
=400•$\frac{1}{sinθ}$+100•$\frac{1+cotθ}{2}$+500•$\frac{1-cotθ}{2}$
=100（$\frac{6-4cotθ}{2}$+$\frac{4}{sinθ}$）
=300+200•$\frac{2-cosθ}{sinθ}$，
即所求函數(shù)f（θ）=300+200•300+200•$\frac{2-cosθ}{sinθ}$；
（2）記μ=$\frac{2-cosθ}{sinθ}$，則μsinθ+cosθ=2，
∴$\sqrt{{μ}^{2}+1}$sin（θ+φ）=2，
∴$\sqrt{{μ}^{2}+1}$=$\frac{2}{sin（θ+φ）}$≥2，
∴μ²+1≥4，即μ≥$\sqrt{3}$，
∴f（θ）_min=300+200$\sqrt{3}$≈300+200•1•732=646.4，
此時sin（θ+φ）=1，
∵φ=arccos$\frac{μ}{\sqrt{{μ}^{2}+1}}$
=arccos$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{π}{6}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
即當θ=$\frac{π}{3}$時所用材料費最低，最低費用為646.4元；
（3）若截面為正方形時，材料費y₁=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$）•10•40+$\frac{1}{2}$•10•50+$\frac{1}{2}$•10•10=700元，
由（2）可知橫截面為等腰梯形時所用材料費比橫截面為正方形時所用材料費要省700-646.4=53.6元．

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定函數(shù)模型是關鍵．注意解題方法的積累，屬于中檔題．