Question

14．如圖，在三棱錐P-ABC中，F(xiàn)、G、H分別是PC、AB、BC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B-PA-C為120°．
（I）證明：FG⊥AH；
（Ⅱ）求二面角A-CP-B的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明FG⊥AH；
（Ⅱ）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可求二面角A-CP-B的余弦值．

解答 解：（I）設(shè)AC的中點(diǎn)是M，連接FM，GM，
∵PF=FC，∴FM∥PA，
∵PA⊥平面ABC，
∴FM⊥平面ABC，
∵AB=AC，H是BC的中點(diǎn)，
∴AH⊥BC，
∵GM∥BC，
∴AH⊥GM，
∴GF⊥AH
（Ⅱ）建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則P（0，0，2），H（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），C（0，2，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），F(xiàn)（0，1，1），
則平面PAC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}x-3y=0}\end{array}\right.$，令z=1，則y=1，x=$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即二面角A-CP-B的余弦值是$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線垂直的證明和二面角的求解，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．