Question

19．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且S_n=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（I）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過S_n=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$與S_n-1=（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$作差，整理可知a_n=（-1）ⁿa_n+（-1）ⁿa_n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況化簡即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=[（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$]-[（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$]
=（-1）ⁿa_n+（-1）ⁿa_n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=a_n+a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，整理得：a_n-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
即當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$；
當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=-a_n-a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，整理得：2a_n+a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
又∵當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴2（-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）+a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$，整理得：a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
即當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（I）a₁=-$\frac{1}{{2}^{1+1}}$=-$\frac{1}{4}$，a₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，a₃=-$\frac{1}{{2}^{3+1}}$=-$\frac{1}{16}$；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{2}^{n+1}}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{{2}^{n}}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．