Question

若n=

1

5

[

C

7 10

-

A

2 5

]，m是(

5

2x

+

2

5

3	x2

)5的展開式中的常數(shù)項．
（1）將n個不同的物品任意分成m-2組，共有多少種不同的分組分法？
（2）求C_n-18^m-2+C_n-17^m-2+C_n-16^m-2+…+C_n^m-2的值．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：計算題,排列組合,二項式定理

分析：運用排列和組合數(shù)公式，即可得到n=20，由二項式展開式的通項公式，即可得到m=4，
（1）運用分組方法得到共有

C

1 20

+

C

2 20

+…+

C

9 20

+

1

2

•C

10 20

種，再由二項式定理，注意逆用，即可求得結(jié)果；
（2）運用組合數(shù)的性質(zhì)：

C

m n

+C

m-1 n

=C

m n+1

，以及組合數(shù)公式，即可得到答案．

解答： 解：由于n=

1

5

[

C

7 10

-

A

2 5

]=

1

5

[

C

3 10

-

A

2 5

]=

1

5

×（120-20）=20，
(

5

2x

+

2

5

3	x2

)5的展開式的通項公式T_r+1=

C

r 5

（

5

2x

）^5-r•（

2

5

3	x2

）^r=

C

r 5

•（

5

2

）^5-2r•x

5

3

r-5，
其中r=0，1，…，5，令

5

3

r-5=0，即得r=3，
則展開式中的常數(shù)項為10×

2

5

=4．即m=4．
（1）將10個不同的物品任意分成2組，共有

C

1 20

+

C

2 20

+…+

C

9 20

+

1

2

•C

10 20

種，
則

C

1 20

+

C

2 20

+…+

C

9 20

+

1 2 C

10 20

=

1

2

（

C

1 20

+

C

2 20

+…+

C

19 20

）=

1

2

（2²⁰-2）=2¹⁹-1；
（2）C_n-18^m-2+C_n-17^m-2+C_n-16^m-2+…+C_n^m-2=

C

2 2

+

C

2 3

+…+

C

2 20

=

C

3 3

+

C

2 3

+…+

C

2 20

=

C

3 4

+

C

2 4

+…+

C

2 20

=…=

C

3 20

+

C

2 20

=

C

3 21

=1330．

點評：本題考查排列組合數(shù)公式的運用和二項式定理的運用，考查分組問題和組合數(shù)的性質(zhì)及運用計算和化簡，屬于中檔題．