Question

5．已知F₁、F₂分別為雙曲線C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}$=1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且|PF₁|=2|PF₂|，則△PF₁F₂外接圓的面積為（　�。�

• A． $\frac{4π}{15}$
• B． $\frac{16π}{15}$
• C． $\frac{64π}{15}$
• D． $\frac{256π}{15}$

Answer 1

分析 先由雙曲線的方程求出|F₁F₂|=6，再由|PF₁|=2|PF₂|，求出|PF₁|，|PF₂|，由此能求出△PF₁F₂的面積，利用余弦定理求得cos∠PF₁F₂，由正弦定理求得△PF₁F₂外接圓的半徑，即可求得△PF₁F₂外接圓的面積．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}$=1，的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），|F₁F₂|=6，a=2，
由|PF₁|=2|PF₂|，設(shè)|PF₂|=x，則|PF₁|=2x，
由雙曲線的性質(zhì)知，2x-x=4，解得x=4．
∴|PF₁|=8，|PF₂|=4，
∵|F₁F₂|=6，∴p=$\frac{4+6+8}{2}$=9，
∴△PF₁F₂的面積S=$\sqrt{9（9-4）（9-6）（9-8）}$=3$\sqrt{15}$．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可知：cos∠PF₁F₂=$\frac{丨P{F}_{1}{丨}^{2}+丨P{F}_{2}{丨}^{2}-丨{F}_{1}{F}_{2}{丨}^{2}}{2丨P{F}_{1}丨丨P{F}_{2}丨}$=$\frac{7}{8}$，
由0∠PF₁F₂＜π，則sin∠PF₁F₂=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
$\frac{丨P{F}_{2}丨}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=2R，R為△PF₁F₂外接圓的半徑，
則R=$\frac{16}{\sqrt{15}}$，
∴△PF₁F₂外接圓的面積S=πR²=$\frac{256π}{15}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查三角形面積的計(jì)算，正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．