Question

13．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0
（1）設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=$\sqrt{17}$，求直線l的傾斜角；
（2）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由已知圓的方程求出圓的半徑，結(jié)合垂徑定理得到圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式得答案；
（2）由已知得到圓心坐標(biāo)和半徑，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，放縮可得圓心到直線的距離小于圓的半徑得答案．

解答 （1）解：由圓C：x²+（y-1）²=5，得半徑r=$\sqrt{5}$，
又|AB|=$\sqrt{17}$，∴圓心C（0，1）到直線l：mx-y+1-m=0的距離d=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\frac{\sqrt{17}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由點(diǎn)到直線的距離公式得d=$\frac{|0-1+1-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得m=$±\sqrt{3}$．
∴直線的斜率等于$±\sqrt{3}$．
故直線的傾斜角為$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$；
（2）證明：圓C：x²+（y-1）²=5的圓心C（0，1），半徑為$\sqrt{5}$，
圓心C到直線l：mx-y+1-m=0的距離d=$\frac{|-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}＜1＜\sqrt{5}$．
∴直線l與圓C相交，即對(duì)?m∈R，直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，是中檔題．