Question

7．已知二面角α-l-β的平面角為θ，A，B∈l，AC?α，BD?β，AC⊥l，BD⊥l，若AB=AC=BD=1，CD=2，則θ=120°．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{CD}$²=（$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$）²=${\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}$-2|$\overrightarrow{AC}$|$•|\overrightarrow{BD}|$•cosθ，能求出θ．

解答 解：如圖，∵二面角α-l-β的平面角為θ，AC⊥l，BD⊥l，
AB=AC=BD=1，CD=2，
∴$\overrightarrow{CD}$²=（$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$）²=${\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}$-2|$\overrightarrow{AC}$|$•|\overrightarrow{BD}|$•cosθ，
∴4=1+1+1-2cosθ，解得cos$θ=-\frac{1}{2}$，
∴θ=120°．
故答案為：120°．

點評 本題考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．