Question

2．如圖三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，D是BC的中點，且△ADC是邊長為2的正三角形，求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，過D作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-AB-C的大�。�

解答 解：∵三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，D是BC的中點，且△ADC是邊長為2的正三角形，
∴以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，過D作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
P（0，-1，$\frac{2}{\sqrt{3}}$），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），
$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（-$\sqrt{3}$，-1，$\frac{2}{\sqrt{3}}$），
設(shè)平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-\sqrt{3}x-y+\frac{2}{\sqrt{3}}z=0}\end{array}\right.$．取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3，3$\sqrt{3}$），
設(shè)二面角P-AB-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{39}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴θ=arccos$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴二面角P-AB-C的大小為arccos$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查二面角的大小，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．