Question

設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（2）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集為（　　）

• A、{x|-2＜x＜0或0＜x＜2}
• B、{x|x＜-2或0＜x＜2}
• C、{x|x＜-2或x＞2}
• D、{x|-2＜x＜0或x＞2}

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件知f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，f（-2）=0，所以原不等式可變成

f(x)-f(-x)＞0 x＜0

，或

f(x)-f(-x)＜0 x＞0

，根據(jù)f（x）的單調(diào)性解這兩個不等式組即得原不等式的解集．

解答： 解：原不等式變成：

f(x)-f(-x)＞0 x＜0

（Ⅰ），或

f(x)-f(-x)＜0 x＞0

（Ⅱ），
∵f（x）是奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴在（-∞，0）上也是增函數(shù)；
又f（2）=0，∴f（-2）=f（2）=0；
∴解不等式組（Ⅰ）變成

2f(x)＞0=f(-2) x＜0

得-2＜x＜0，解不等式組（Ⅱ）變成

2f(x)＜0=f(2) x＞0

，解得0＜x＜2；
∴原不等式的解集是（-2，0）∪（0，2）．
故選：A．

點(diǎn)評：考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性特點(diǎn)，以及分式不等式的解法，屬于中檔題．