Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，過D與PB垂直的平面分別交PB、PC于F、E．PD=DC．
（1）求證：DE⊥PC
（2）求證：PA∥平面EDB；
（3）求二面角C-PB-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由PB⊥平面DEF，知PB⊥DE，由PD⊥平面ABCD，BC⊥DC，知BC⊥面PDC．由此能夠證明DE⊥PC．
（2）連AC交BD于O，則O為AC的中點，E為PC的中點，EO∥PA．由PA?平面EDBEO?平面EDB，知PA∥平面EDB．
（3）設(shè)PD=DC=a，取DC的中點H，作HG∥CO交BD于G，則HG⊥DB，EH∥PD，EH⊥平面CDB．由三垂線定理知EG⊥BD，故∠EGH為二面角E-BD-C的一個二面角．由此能求出二面角E-BD-C的正切值．
解答：解：（1）證明：∵PB⊥平面DEF∴PB⊥DE…（1分）
又∵PD⊥平面ABCD
又∵BC⊥DC∴BC⊥面PDC…（2分）
∴DE?平面PDC∴BC⊥DE
從而DE⊥平面PBC…（4分）
∴DE⊥PC…（5分）
（2）證明：連AC交BD于O，則O為AC的中點，
∴E為PC的中點，
∴EO∥PA…（6分）
又∵PA?平面EDBEO?平面EDB，
∴PA∥平面EDB…（8分）
（3）設(shè)PD=DC=1，∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=1，BD=，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，1，0），
∴，，，，
設(shè)面PBD的法向量為，則，∴，
設(shè)面PBC的法向量為，則，∴，
設(shè)二面角C-PB-D的平面角為θ，則cosθ=，θ=60°，
∴二面角C-PB-D的大小為60°．
點評：本題考查立體幾何問題的綜合應(yīng)用，難度較大．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題進(jìn)行求解．