Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都存在y，使得f（y）=f（x）+y，則a的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將原式化成f（y）-y=f（x）的形式，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x，都存在y，使得f（y）-y=f（x），則只需f（x）的值域是函數(shù)f（y）-y的值域的子集．則問(wèn)題容易獲解．

解答： 解：由已知得f（x）=x²+ax+b，f（y）=y²+ay+b．
則原式可化為對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都存在y使得x²+ax=y²+ay-y恒成立，
令g（x）=x²+ax，h（y）=y²+ay-y，
則函數(shù)g（x）=x²+ax的值域是函數(shù)h（y）=y²+ay-y值域的子集．
g（x）=（x+

a

2

）²-

a2

4

，值域?yàn)閇-

a2

4

，+∞），
h（y）=y²+（a-1）y=[y+（

a-1

2

）]²-

(a-1)2

4

，值域?yàn)閇-

(a-1)2

4

，+∞），
從而-

a2

4

≥-

(a-1)2

4

，解得a≤

1

2

，
故a的最大值為

1

2

．
故答案為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題重在理解題意，先將變量x與y分離后，即將原式化成兩個(gè)函數(shù)值相等，結(jié)合題意即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系．