Question

2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會，會標是我國以古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，則sin²θ-cos²θ的值等于（　　）

• A．1
• B．-

  24

  25

• C．

  7

  25

• D．-

  7

  25

Answer 1

分析：根據(jù)兩正方形的面積分別求出兩正方形的邊長，根據(jù)小正方形的邊長等于直角三角形的長直角邊減去短直角邊，利用三角函數(shù)的定義表示出5cosθ-5sinθ=1，兩邊平方并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡可得sin2θ的值，然后根據(jù)θ的范圍求出2θ的范圍即可判斷出cos2θ的正負，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系由sin2θ即可求出cos2θ的值．

解答：解：∵大正方形面積為25，小正方形面積為1，
∴大正方形邊長為5，小正方形的邊長為1．
∴5cosθ-5sinθ=1，
∴cosθ-sinθ=

1

5

．
∴兩邊平方得：1-sin2θ=

1

25

，
∴sin2θ=

24

25

．
∵θ是直角三角形中較小的銳角，
∴0＜θ＜

π

4

，0＜2θ＜

π

2

．
∴sin²θ-cos²θ=-cos2θ=-

1-sin22θ

=-

7

25

．
故選D．

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．本題的突破點是將已知的兩等式兩邊平方