Question

19．對(duì)于集合A，B，定義A+B={x+y|x∈A，y∈B}，下列命題：①A+B=B+A；②（A+B）+C=A+（B+C）；③若A+A=B+B，則A=B；④A+C=B+C，則A=B；其中正確的命題是：①②．

Answer 1

分析 ①根據(jù)新定義以及加法交換律得出A+B=B+A；②根據(jù)新定義以及加法結(jié)合律得出（A+B）+C=A+（B+C）；③舉特例根據(jù)新定義說明結(jié)論不成立；④根據(jù)題意舉例說明結(jié)論不成立．

解答 解：①、集合A、B滿足A+B={x+y|x∈A，y∈B}，
∴B+A={y+x|y∈B，x∈A}={x+y|x∈A，y∈B}=A+B，①正確；
②、（A+B）+C={x+y+z|x∈A，y∈B，z∈C}
A+（B+C）={x+y+z|x∈A，y∈B，z∈C}，∴（A+B）+C=A+（B+C），②正確；
③、當(dāng)A={x|x=2n+1，n∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}，
由題意得{x+y|x∈A，y∈A}={x+y|x∈B，y∈B}，但A≠B，③不正確；
④、當(dāng)A={x|x=2n+1，n∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}，C={x|x=n，n∈Z}時(shí)，
滿足{x+z|x∈A，z∈C}={y+z|y∈B，z∈C}，但A=B不成立，④錯(cuò)誤，
所以正確的命題是：①②，
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的集合的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)理解集合的含義，理解新定義的內(nèi)含與外延，是不易理解的題目．