Question

13．平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（2，0），以F為圓心，F(xiàn)O為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B（不同于O），當(dāng)|AB|取最大值時(shí)雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得F為圓心，F(xiàn)O為半徑的圓的方程，雙曲線的漸近線方程，代入圓的方程求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，及距離，運(yùn)用基本不等式即可得到a=b，進(jìn)而得到所求離心率．

解答 解：F為圓心，F(xiàn)O為半徑的圓的方程為（x-c）²+y²=c²，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
代入圓的方程可得，（1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$）x²=2cx，
解得x=$\frac{2c{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2c{a}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{c}$，
即有A（$\frac{2{a}^{2}}{c}$，$\frac{2ab}{c}$），B（$\frac{2{a}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$），
|AB|=$\frac{4ab}{c}$=$\frac{4ab}{2}$=2ab≤a²+b²=c²=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\sqrt{2}$，取得等號(hào)．
則雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程與圓的方程聯(lián)立求交點(diǎn)，運(yùn)用基本不等式求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．