Question

18．已知函數(shù)f（x）=x³+ax+b，x∈R為奇函數(shù)，圖象與x軸相切．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n，使函數(shù)g（x）=3-|f（x）|的定義域與值域均為[m，n]？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為定義域R上的奇函數(shù)，得出b=0，
再根據(jù)f（x）的圖象與x軸相切，f′（x）=0，求出a=0，即得函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）=3-|f（x）|，分段討論g（x）=x時(shí)方程解的情況，得出g（x）=x有2個(gè)不同的解，即得結(jié)論成立．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax+b為定義域R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即（-x）³+a（-x）+b=-（x³+ax+b），
∴b=0；
又f′（x）=3x²+a，
當(dāng)f（x）的圖象與x軸相切時(shí)，f′（x）=0，
∴a=0；
∴函數(shù)y=f（x）=x³；
（2）函數(shù)g（x）=3-|f（x）|=3-|x³|=$\left\{\begin{array}{l}{3{-x}^{3}，x≥0}\\{3{+x}^{3}，x＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）=3-x³，
令g（x）=x，∴3-x³=x，
即3-x=x³，結(jié)合函數(shù)的圖象知，此方程有一解，不妨設(shè)為n；
當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）=3+x³，
令g（x）=x，∴3+x³=x，
即x³=x-3，結(jié)合函數(shù)的圖象知，此方程有一解，不妨設(shè)為m；
所以存在實(shí)數(shù)m，n，使函數(shù)g（x）=3-|f（x）|的定義域與值域均為[m，n]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用問題，是綜合性題目．