Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n=2n²-3n，數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，滿足a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）記c_n=（a_n+5）•b_n，求c_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=-1，當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=s_n-s_n-1得到a_n的通項(xiàng)公式，把n=1代入也滿足，得到即可；因?yàn)閎₁=-a₁=1，并且b₃（a₂-a₁）=b₁即可解出q，然后得到通項(xiàng)；
（2）把a(bǔ)_n和b_n的通項(xiàng)公式代入到c_n中，求出c_n≥c_n-1且c_n≥c_n+1的正整數(shù)解進(jìn)而得到c_n的最大值．

解答：解：（1）∵an=

S1n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，
∴an=

-1，n=1 4n-5，n≥2

，即a_n=4n-5（n∈N*）．
因?yàn)閎₁=1，b₁q²（a₂-a₁）=b₁，
所以q2=

1

4

．
∵b_n＞0，∴q=

1

2

，所以bn=(

1

2

)n-1．
（2）由（1）可得c_n=（a_n+5）•b_n，=4n•(

1

2

)n-1，
由

cn≥cn-1 cn≥cn+1

可得：1≤n≤2，即c₁與c₂最大，最大值為 4．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用a_n=s_n-s_n-1得到a_n的通項(xiàng)公式，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，會(huì)利用不等數(shù)求數(shù)列和的最大值．