Question

20．（文科做）已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C的對(duì)邊，且b²=a²+c²+ac．
（1）若b=$\sqrt{21}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$，求a的值；
（2）求$\frac{{bsin（{{{30}°}-C}）}}{a-c}$的值．

Answer 1

分析 由余弦定理求出角B的大小，
（1）再由余弦定理和三角形面積公式列出方程組，解方程組求出a的值；
（2）由正弦定理，利用三角恒等變換，即可求出所求的結(jié)果．

解答 解：△ABC中，b²=a²+c²+ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{-ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$；
又B∈（0，π），∴B=$\frac{2π}{3}$；
（1）∵b=$\sqrt{21}$，∴b²=21=a²+c²+ac①，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac•sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$②，
由①②組成方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{+c}^{2}=17}\\{ac=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴a的值為4或1；
（2）∵B=$\frac{2π}{3}$=120°，
∴A+C=60°，
∴$\frac{{bsin（{{{30}°}-C}）}}{a-c}$=$\frac{sinB•sin（30°-C）}{sinA-sinC}$
=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×（\frac{1}{2}cosC-\frac{\sqrt{3}}{2}sinC）}{sin（60°-C）-sinC}$
=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}cosC-\frac{3}{4}sinC}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosC-\frac{3}{2}sinC}$
=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的面積公式、正弦、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角恒等變換與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．