Question

16．在矩陣A的變換下，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變．
（1）求矩陣A及A^-1；
（2）求圓x²+y²=4在矩陣A^-1的變換下得到的曲線方程．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，再求出△=|A|=3，由此能求出A^-1．
（2）由$[\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{x}^{'}}\\{{y}^{'}}\end{array}]$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=\frac{1}{3}x}\\{{y}^{'}=y}\end{array}\right.$，由此能求出圓x²+y²=4在矩陣A^-1的變換下得到的曲線方程．

解答 解：（1）∵在矩陣A的變換下，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，
∴A=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，
∵△=|A|=3，∴A^-1=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$．
（2）由$[\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{x}^{'}}\\{{y}^{'}}\end{array}]$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=\frac{1}{3}x}\\{{y}^{'}=y}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{'}}\\{y={y}^{'}}\end{array}\right.$，
代入x²+y²=4，得9x^'2+y^'2=4，
∴圓x²+y²=4在矩陣A^-1的變換下得到的曲線方程為9x²+y²=4．

點(diǎn)評 本題考查逆矩陣的求法，考查圓的方程在矩陣A^-1的變換下得到的曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意矩陣變換的性質(zhì)的合理運(yùn)用．