Question

4．已知cosα=$\frac{5}{13}$，cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，
（1）求tan2α的值；  
（2）求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，進而可求tanα，利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tan2α的值．
（2）由0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，得0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（α-β），由β=α-（α-β）利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算求值．

解答 解：（1）∵由cosα=$\frac{5}{13}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，得sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\sqrt{1-（\frac{5}{13}）^{2}}$=$\frac{12}{13}$，
∴得tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{12}{5}$
∴于是tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{120}{119}$．…（6分）
（2）由0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，得0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，
又∵cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{3}{5}$，
由β=α-（α-β）得：
cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=$\frac{5}{13}×\frac{4}{5}+\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{56}{65}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正切函數(shù)公式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．