Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠DAB=$\frac{π}{2}$，AC與BD交于點O，AD=6，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2．Q為PA上一點．
（I）求證：面PAC⊥面BDQ；
（Ⅱ）若PC∥平面BDQ，且PA=6，求三棱錐P-BDQ的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥BD，求解直角三角形得CO²+OB²=BC²，則BD⊥AC，再由線面垂直的判定與面面垂直的判定得面BDQ⊥面PAC；
（Ⅱ）連接OQ，由PC∥面BDQ，得PC∥OQ，由平行線截線段成比例可得$AQ=\frac{9}{2}$，$PQ=\frac{3}{2}$，再由V_P-BDQ=V_P-ABD-V_Q-ABD求得三棱錐P-BDQ的體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BD，…（1分）
∵∠ABC=∠DAB=$\frac{π}{2}$，AD=6，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，
∴AC=4，BD=$4\sqrt{3}$，
在△COB中，
∵CO=$\frac{1}{4}AC=1$，$BO=\frac{1}{4}BD=\sqrt{3}$，
∴CO²+OB²=BC²，則BD⊥AC，…（4分）
∴BD⊥面PAC，BD?面BDQ，
∴面BDQ⊥面PAC；…（6分）
解：（Ⅱ）連接OQ，
∵PC∥面BDQ，面BDQ∩面PCA=OQ，
∴PC∥OQ，…（9分）
∴$\frac{AQ}{PQ}=\frac{AO}{OC}=\frac{3}{1}$，則$AQ=\frac{9}{2}$，$PQ=\frac{3}{2}$，…（10分）
∴V_P-BDQ=V_P-ABD-V_Q-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•（AP-AQ）=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PQ=3\sqrt{3}$．
…（12分）

點評 本題考查面面垂直的判斷，訓練了利用等積法求三棱錐的體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．