Question

14．已知A（-2，0），B（2，0），|$\overrightarrow{AP}$|=2，D為線段BP的中點．
（1）求點D的軌跡E的方程；
（2）拋物線C以坐標原點為頂點，以軌跡E與x軸正半軸的交點F為焦點，過點B的直線與拋物線C交于M，N兩點，試判斷坐標原點與以MN為直徑的圓的位置關系．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求點D的軌跡E的方程；
（2）設直線MN的方程為x=ty+2聯(lián)立得y²-4ty-8=0，利用韋達定理，證明$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$＜0，即可得出結論．

解答 解：（1）設D（x，y），P（m，n），則x=$\frac{2+m}{2}$，y=$\frac{n}{2}$…（1分）
所以m=2x-2，n=2y…（2分）
又|$\overrightarrow{AP}$|=2，所以（m+2）²+n²=4…（3分）
所以所求方程為x²+y²=1…（4分）
（2）軌跡E與x軸正半軸的交點F（1，0）…（5分）
拋物線C的方程為y²=4x…（6分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設直線MN的方程為x=ty+2
聯(lián)立得y²-4ty-8=0，
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-8…（8分）
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$+y₁y₂=-4＜0…（10分）
所以坐標原點在以MN為直徑的圓內…（12分）

點評 本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用向量知識、韋達定理是關鍵．