Question

19．在數列{a_n}中，已知a₁=2，a_na_n-1=2a_n-1（a≥2，n∈N^*），記數列{a_n}的前n項之積為T_n，若T_n=2017，則n的值為2016．

Answer 1

分析 由a_na_n-1=2a_n-1（a≥2，n∈N^*），得${a}_{n}=2-\frac{1}{{a}_{n-1}}$，${a}_{2}=\frac{3}{2}，{a}_{3}=\frac{4}{3}，{a}_{4}=\frac{5}{4}$，…，${a}_{n}=\frac{n+1}{n}$，數列{a_n}的前n項之積為T_n=$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×…×\frac{n+1}{n}$=n+1即可．

解答 解：由a_na_n-1=2a_n-1（a≥2，n∈N^*），得${a}_{n}=2-\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∵a₁=2，∴${a}_{2}=\frac{3}{2}，{a}_{3}=\frac{4}{3}，{a}_{4}=\frac{5}{4}$，…，${a}_{n}=\frac{n+1}{n}$．
數列{a_n}的前n項之積為T_n=$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×…×\frac{n+1}{n}$=n+1，
∴當T_n=2017時，則n的值為2016，
故答案為：2016．

點評 本題考查了數列的遞推式，考查了歸納推理能力，屬于中檔題．