Question

9．定義在R上的可導函數(shù)f（x）滿足（x-314）f（2x）-2xf′（2x）＞0恒成立，求證：?x∈R，f（x）＜0．

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=$\frac{{x}^{314}f（2x）}{{e}^{x}}$，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的最大值小于0，從而證出結論．

解答 證明：令g（x）=$\frac{{x}^{314}f（2x）}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{{-x}^{313}[（x-314）f（2x）-2xf′（2x）]}{{e}^{x}}$，
∵（x-314）f（2x）-2xf′（2x）＞0恒成立，
故令g′（x）＞0，解得：x＜0，令g′（x）＜0，解得：x＞0，
∴g（x）在（-∞，0）遞增，在（0，+∞）遞減，
∴g（x）＜g（0）=0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用，構造函數(shù)g（x）是解題的關鍵，本題是一道中檔題．