Question

4．如圖，在三棱錐A-BCD中，O是BC中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，CD⊥BD，∠BCD=$\frac{π}{6}$，BC=2，OA=$\sqrt{2}$，CE=3ED，F(xiàn)是OA的中點(diǎn)．
（I）證明：EF∥平面ABD；
（Ⅱ）直線AC上是否存在點(diǎn)M，使得DM與平面ABC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，若存在，確定點(diǎn)M的位置，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明平面GEF∥平面ABD即可，
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法建立線面角對(duì)應(yīng)的方程，解方程即可．

解答 證明：（1）如圖，設(shè)OB的中點(diǎn)為G，連接GF，GE，則GF∥AB，
∴GF∥平面ABD．
易知CG=3GB，又CE=3ED，
∴GE∥BD，∴GE∥平面ABD，
又GE∩GF=G，
∴平面GEF∥平面ABD，
∵EF?平面GEF，
∴EF∥平面ABD．
由（1）知，點(diǎn)G是OB的中點(diǎn)．如圖3，連接DG，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)C，OA所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則x軸平行于DG，則A（0，0，$\sqrt{2}$），B（0，-1，0），C（0，1，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
 則$\overrightarrow{AC}$=（0，1，-$\sqrt{2}$），
設(shè)$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AC}$=（0，λ，-$\sqrt{2}$λ），
則$\overrightarrow{DM}$=$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）+（0，λ，-$\sqrt{2}$λ）=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，λ-$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ），
取平面ABC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）．
則DM與平面ABC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴DM與平面ABC所成角的正弦值sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DM}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DM}|}$|=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}+（λ-\frac{1}{2}）^{2}+2（1+λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
平方整理得λ²+λ+$\frac{1}{4}$=0，
即（λ+$\frac{1}{2}$）²=0，
則λ=-$\frac{1}{2}$．
此時(shí)$\overrightarrow{AM}$=（0，$-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
則（x，y，z-$\sqrt{2}$）=（0，$-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
則x=0，y=$-\frac{1}{2}$，z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
即M（0，$-\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．
故直線AC上存在點(diǎn)M，使得DM與平面ABC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，此時(shí)M（0，$-\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間線線、線面、面面之間的位置關(guān)系以及平直線與平面夾角的計(jì)算，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．