Question

5．已知函數(shù)f（x）=x（x²-ax+3）．
（Ⅰ）若x=$\frac{1}{3}$是f（x）的極值點，求f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值與最小值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，令f′（x）=0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)的最值；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為a≤[$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）]_最小值即可，設(shè)g（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥1），求出函數(shù)g（x）的最小值，從而求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x³-ax²+3x，得：f′（x）=3x²-2ax+3，
由已知得：f′（$\frac{1}{3}$）=0，解得：a=5，
∴f（x）=x³-5x²+3x，f′（x）=3x²-10x+3，
由f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{3}$或3，
f（x）與f′（x）在[-1，4]上的變化情況如下：

x	-1	（-1，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		+		-		+
f（x）	-9	遞增	$\frac{13}{27}$	遞減	-9	遞增	-4

∴函數(shù)f（x）在[-1，4]上的最小值為-9，最大值是$\frac{13}{27}$；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax+3，
由f（x）在[1，+∞）遞增，得：
3x²-2ax+3≥0，即；a≤$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），
要使上式成立，只要a≤[$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）]_最小值即可，
設(shè)g（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥1），
由于g（x）在[1，+∞）是遞增，
∴g（x）_最小值=2，
∴a≤3，
即a的取值范圍是（-∞，3]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．